Mientras que los griegos sólo conocían los números que hoy llamamos naturales positivos (1, 2, etc.), a partir de la época moderna la noción de número (-->) se extendió hasta denominar una serie heterogénea de construcciones mentales de diferente naturaleza: números enteros, racionales, irracionales, reales, complejos, no naturales, transfinitos, etc. Los progresos en esta área del saber, particularmente acentuados durante el s. XIX, estuvieron acompañados de una sorprendente falta de certeza teórica, hasta el punto de que permanece todavía imprecisa la naturaleza y el estatus teórico del ente matemático por excelencia: el número.
Después de la crisis generada por el descubrimiento de la geometría no euclidiana, se hizo inevitable replantearse los fundamentos de las matemáticas desde un punto de vista crítico. Así, durante los cincuenta años a caballo del final del s. XIX y del principio del s. XX nació la filosofía de las matemáticas, una nueva área de reflexión crítica caracterizada ante todo por su estrecha compenetración con la filosofía, la lógica y las matemáticas.
En el núcleo de esta investigación, llamada fundacionalista porque relativiza los axiomas de base de las matemáticas, está la noción de número. Veamos las tres principales teorías adelantadas para definir de manera clara esta noción fundamental.
- El logicismo (Frege, Russell) intenta resolver el problema reduciendo el número a un principio lógico (la clase o conjunto). Es una solución de tipo platónico: el ente matemático es pensado como algo preexistente, de modo que la matemática aparece como un descubrimiento y no como una invención. Se trata de una solución que se adapta bien a la matemática elemental, pero que se muestra insuficiente para explicar la naturaleza de teorías más complejas.
- El formalismo o teoría axiomática de las matemáticas (Hilbert) identificó la validez de la coherencia interna de sus construcciones. El ente matemático es considerado como un producto de la mente humana: existe y es válido sólo cuando se consigue definirlo sin contradicción.
- El intuicionismo (Brouwer) trató de resolver la cuestión recurriendo a la capacidad constructiva de la mente: un ente matemático puede llamarse existente si se consigue construirlo (es decir, si se es capaz de producir un ejemplo e indicar el procedimiento necesario para obtenerlo).
Ninguno de estos intentos tuvo éxito: el logicismo encontró un obstáculo insalvable en la paradoja de Russell; el formalismo lo halló en el teorema de Gödel y el intuicionismo no ha sabido construir un modelo general capaz de explicar todos los entes matemáticos (por ejemplo, la noción de infinito no ha podido ser construida y escapa, por muchos motivos, a la capacidad intuitiva del ser humano).
Sin embargo, y a pesar del intenso debate que tuvo lugar en los primeros decenios del s. XX, el problema de la naturaleza del número, y por ende de las matemáticas, permanece sustancialmente sin resolver; así las cosas, el panorama en esta parcela del saber se caracteriza por la presencia simultánea de numerosas teorías alternativas e incompatibles entre sí. En el mismo siglo en que se producen extraordinarios descubrimientos tecnológicos, <la ciencia descubre la fragilidad de sus bases>.
TOMADO DE ATLAS UNIVERSAL DE FILOSOFÍA - OCEANO
